On parle de fonctions numériques ou plus simplement de fonctions en mathématiques lorsque l'on peut associer par un procédé quelconque à un ensemble de nombres d'autres nombres.
a) On peut définir une fonction par une phrase ou un texte
Des DVD sont vendus au prix de 7 € l'unité.
Le prix à payer est alors fonction du nombre de DVD achetés.
Si l'on note P cette fonction qui pour x DVD achetés donne le prix total à payer en €, on a alors :
P(1) = 7 ( le prix de 1 DVD est de 7 € )
P(2) = 2×7 = 14 ( le prix de 2 DVD est de 14 € )
P(10) = 70
P(x) = 7x (pour x DVD achetés, on paiera P(x) = 7x € )
x est ce que l'on appelle alors la variable de la fonction.
On dira alors que P est la fonction définie par son expression P(x) = 7x.
b) On peut définir une fonction par une expression algébrique
Soit f la fonction définie par f(x) = 3x + 1.
On a alors :
f(4) = 3×4 + 1 = 12 + 1 = 13
f(0) = 3×0 + 1 = 0 + 1 = 1
Lorsque l'on a calculé f(4), on a remplacé la variable x par 4 dans l'expression f(x) = 3x + 1 et l'on a obtenu f(4) = 14.
On dit alors que f(4) = 14 est l'image de 4 par la fonction f.
c) On peut définir une fonction par un graphique
On a relevé les températures toutes les heures d'une journée et on les a représentée
ci-dessus.
On a alors défini T une fonction qui donne la température en ° Celsius en fonction de l'heure d'une journée.
On a ainsi T(5) = 10, ce qui signifie qu'à 5 heures, la température était de 10° Celsius.
On a également T(24) = 10.
2. Images
Soit f une fonction, on appelle alors image de x le nombre f(x).
Exemple
Soit f la fonction définie par f(x) = x2 + 3, alors l'image de 2 par cette fonction est le nombre
f(2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7.
Remarque : l'image d'un nombre par une fonction est un nombre unique.
3. Antécédents
Soit f une fonction, on appelle antécédents de y tous les nombres x tels que f(x) = y.
Pour déterminer les antécédents de y, il faut donc résoudre l'équation f(x) = y.
Il peut y avoir un ou plusieurs antécédents ou même n'y en avoir aucun.
Exemple
Soit f la fonction définie par f(x) = x + 3, alors les antécédents de 5 par la fonction f sont tous les nombres x (s'ils existent) tels que f(x) = 5.
On doit donc résoudre l'équation suivante pour les déterminer :
f(x) = 5
x + 3 = 5
x = 5 - 3 = 2
x = 2 est alors le seul antécédent de 5 par la fonction f.
Exemple
On considère cette fonction T qui donne la température en ° Celsius en fonction de l'heure d'une journée.
On peut remarquer qu'il n'y a aucune heure où la température a été de 30° Celsius.
30 n'a donc pas d'antécédents par cette fonction T.
Graphiquement, on peut déterminer que 20 a deux antécédents par cette fonction T qui sont 11 et 19.
En effet d'après le graphique T(11) = T(19) = 20.