Développement
 

1. Développement

Développer une expression algébrique consiste à transformer un produit de facteurs en une somme de termes.

Exemple

Soit A = 3( x + 2 ), cette expression est le produit de 3 par x + 2
on a :
A = 3( x + 2 ) = ( x + 2 ) + ( x + 2 ) + ( x + 2 )
A = x + x + x + 2 + 2 + 2
A = 3x + 6
Cette dernière expression est la somme de 3x et de 6.
Il s'agit donc de l'expression développée de A.
3( x + 2 ) est quand à elle, l'expression factorisée de A.

2. Comment développer un produit

Pour a,b,c et d quatre nombres donnés, on a les formules suivantes pour développer une expression :
 

 a( b + c ) = a×b + a×c = ab + ac
( a + b )( c + d ) = a×c + a×d + b×c + b×d = ac + ad + bc + bd
 

Exemples

5( 3 + 2x ) = 5×3 + 5×(2x) = 15 + 10x

( 2 - 3x )( 1 + x ) = 2×1 + 2×x -3x×1 - 3x×x
( 2 - 3x )( 1 + x ) = 2 + 2x - 3x - 3x²
( 2 - 3x )( 1 + x ) = -3x² - x + 2 ( on a réduit et ordonné l'expression développée )

Cas particulier

Si l'on veut supprimer des parenthèses précédées d'un signe - , il faut alors remplacer les termes situés dans la parenthèse par leurs opposés.

A = - ( 4 + 2x ) = (-1)×( 4 + 2x ) = (-1)×4 + (-1)×(2x) = - 4 - 2x

B = - ( 6 - 2x ) = (-1)×( 6 - 2x ) = (-1)×6 + (-1)×(-2x) = - 6 + 2x

3. Réduire et ordonner une expression

Lorsque l'on a développé une expression, il ne faut pas oublier de la réduire et de l'ordonner.

Exemple

A = ( 5 - 2x )( x - 2 )
se développe en
A = 5x -10 - 2x² + 4x
que l'on peut réduire en regroupant les termes semblables et en ordonnant pas exemple en mettant en premier lieu les x² , puis les x et enfin les constantes (on dit alors que l'on a ordonné selon les puissances décroissantes).
A = -2x² + 5x + 4x - 10
A = -2x² + 9x - 10