Division euclidienne, diviseurs et multiples 1. Division euclidienne
Portant le nom du célèbre mathématicien grec Euclide, cette division était connue et pratiquée bien avant lui, en Mésopotamie avec les calculi par exemple.
Il s'agit de la division de nombres entiers naturels avec reste que l'on apprend à l'école primaire.
Exemple
Le quotient en division euclidienne de 14 par 3 est 4 et il reste 2.
En effet : 14 = 3 × 4 + 2.
On a : dividende = quotient × diviseur + reste avec l'inégalité reste < diviseur.
Pour deux nombres entiers naturels a et b, si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on peut alors dire que :
- b est un diviseur de a
- a est divisible par b
- a est un multiple de b
Exemple
Si l'on considère la division euclidienne de 18 par 6, on a 18 = 3 × 6 = 3 × 6 + 0.
Le reste est nul.
On peut alors dire que :
- 6 est un diviseur de 18
- 18 est divisible par 6
- 18 est un multiple de 6
Division euclidienne à la calculatrice
Si certaines calculatrices de collège proposent une touche ou une fonction de division euclidienne, toutes ne proposent pas cette fonctionnalité.
On peut alors procéder comme suit :
si je veux effectuer la division euclidienne de 735 par 46
- J'effectue à la calculatrice la division décimale : 735/46 donne 15,9782....
- La partie entière du résultat obtenu me donne le quotient de la division euclidienne, ici le quotient de la division euclidienne de 735 par 46 est donc 15.
- Pour obtenir le reste de la division , il suffit d'effectuer 735 - 15 × 46 = 45.
- On a alors 735 = 15 × 46 + 45.
- Par définition, le reste doit toujours être inférieur au diviseur , on a bien 45 < 46.
2. Nombres premiers
Un nombre entier naturel est dit premier s'il n'admet que deux diviseurs distincts qui sont 1 et lui-même.
Exemple
6 n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par 1 et 6 mais aussi par 2 et 3.
5 est un nombre premier puisqu'il n'est divisible que par 1 et lui-même.
1 n'est pas un nombre premier puisqu'il n'admet qu'un seul diviseur qui est 1.
0 n'est pas un nombre premier puisqu'il admet une infinité de diviseurs.